sifat-sifat operasi bilangan rasional

E.     SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN RASIONAL

Himpunan bilangan rasional dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu sistem  atau struktur dengan sifat mendasar operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan rasional adalah berikut ini.

1.      Sifat Ketertutupan (Closure Property)

Jika  dan  dan adalah sebarang unsur Q maka  Q dan  Q

2.      Sifat Komutatif (Commutative Property)

Jika   dan  adalah sebarang unsure Q maka  dan

3.      Sifat Asosiatif (associative property)

Jikia  dan  adalah sebarang unsure Q maka  dan

4.      Sifat identitas (Identity Property)

Untuk sebarang  Q ada suatu 0 Q dan 1  Q yang masing-masing adalah tunggal sehingga:

  0

 

0 disebut elemen atau unsur penjumlahan.

1 disebut elemen atau unsur identitas perkalian.

5.      Sifat Inverse (inverse property)

Untuk sebarang  Q ada x  Q dan y Q yang masing –masing adalah tunggal sehingga :

 

=1 

X disebut inverse penjumlahan (lawan) dari , ditulis dengan x =

Y disebut inverse perkalian (kebalikan ) dari , ditulis dengan y = =

6.      Sifat distributif (Distributive Property) perkalian terhadap penjumlahan

Jika  dan  adalah sebarang unsur Q maka  

Contoh

a.       Tanpa harus menghitung terlebih dahulu, dengan menggunakan sifat komutatif dapat ditentukan :

Jika   maka x

Jika  , maka y =

Jika  , maka z =

Jika t      , maka t

b.      Tanpa harus menghitung terlebih dahulu, dengan menggunakan sifat asosiatif dapat ditentukan :

Jika  , maka x =

Jika , maka y =  

Jika
 maka z = 5

Jika  , maka t = 6

c.        adalah lawan  sebab

 adalah lawan  sebab  

Lawan dari -  adalah  sebab  

Lawan dari 4 adalah  sebab = 0

d.      Kebalikan  adalah  sebab  

Kebalikan  adalah  sebab

Kebalikan 3 adalah  sebab

Kebalikan - adalah  sebab  

Himpunan bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan (biasa) memenuhi sifat-sifat ketertutupan, asosiatif, identitas, dan invers sehingga himpunan Q dan operasi  membentuk system ( struktur) matematika (Q, yang disebut grup.

Definisi 8.8

Suatu grup adalah suatu, himpunan dengan suatu operasi tertentu yang memenuhi sifat ketertutupan, asosiatif, identitas, dan invers.

System struktur matematika yang terdiri dri himpunan G dan operasi di tulis dengan (G,*).

Struktur (G, *) adalah grup jika * jika memenuhi sifat-sifat ketertutupan, asosiatif, identitas, dan invers. Jika (G,*) adalah grup dan * bersifat komutatif maka (G,*) disebut grup komutatif (Abel).

Contoh 8.13

a.       I =

(I,+) adalah grup karena operasi + memenuhi sifat-sifat ketertutupan, asosiatif, identitas dan invers. (I,+) juga grup (Abel).

b.      A= {-1, 0, 1}

(A,+) adalah bukan grup karena operasi + tidak memenuhi sifat ketertutupan, sebagai contoh (-1) + ( -1) = - A, dan 1 + 1=  A.

c.       B =

(B, +) adalah bukan grup. Mengapa ?

d.      C = {-1,1}

(C, x) adalah grup . mengapa ? apa invers -1 ? apa invers 1 ?

Apakah (C, x) grup komutatif ?

e.       D =

(D, x ) adalah bukan grup. Mengapa ? sifat grup yang sama yang tidak dipenuhi ?