bilangan rasional desimal

E.     BILANGAN RASIONAL DESIMAL

Ada banyak lambang yang dapat digunakan untuk memberi  nama bilangan, tetapi setiap lambang hanya mewakili sebuah bilangan. Lambang bilangan yang banyak digunakan sampai sekarang adalah lambing romawi dan lambing Hindu-Arab. Lambing romawi tidak menganut nilai tempat, sedangkan lambing Hindu-Arab menganut nilai tempat, artinya nilai bilangan yang lambangnya sama adalah berbeda karena perbedaan tempat (posisi) didalam lambang bilangannya.

Bilangan  mempunyai lima lambang dua yang nilainya berbeda satu dengan yang lain.

Tempat ke-1,    bernilai    =  x

Tempat ke-   bernilai      =  x

Tempat ke-3,    bernilai 00        = x

Tempat ke-4,    bernilai          = x

Tempat ke-5,    bernilai             = x

Lambang bilangan Hindu-Arab yang menggunakan nilai tempat ini menggunakan perpangkatan bualat dari sepuluh untuk setiap posisi atau tempat sehingga disebut decimal.

(Belanda), pada abad 16, memperkenalkan cara menuliskan pecahan dalam bentuk desimal sebagai berikut.

1.      Tanda koma diletakan setelah angka satuan

2.      Satu angka bilangan setelah koma menyatakan per sepuluhan.

3.      Setiap satu angka bilangan berikutnya, secara berturut-turturut menyatakan per seratusan, per seribuan, dan seterusnya.

4.      Bilangan-bilangan rasional dengan penyebut 10 mempunyai satu tempat decimal, penyebut, 100 mempunyai dua tempat decimal, penyebut 1000 mempunyai tiga tempat decimal, seterusnya.

Cara Simon  Stevin untuk menuliskan bilangan rasional pecahan dinamakan notasi decimal yang diperluas.

Contoh 8.14

a.       Bilangan-bilangan rasional per sepuluhan mempunyai satu angka decimal setelah  koma.

                                                       

                                

b.      Bilangan-bilangan rasional per seratusan mempunyai dua angka decimal setelah koma.

                   

                   

                      

c.       Bilangan-bilangan decimal dapat ditulis menjadi bilangan rasional pecahan dengan penyebut yang sesuai dengan banyaknya angka desimal setelah koma.

0,  =       

0,40 =             1,135 =

Untuk bilangan-bilangan rasional yang mempunyai penyebut bukan perpangkatan dari 10 (10*, k bilangan bulat), ditempuh dengan cara-cara sebagai berikut.

a.       Jika penyebut dapat di ubah menjadi 10, 100, 1000,…maka pecahan rasional diubah menjadi persepuluhan, per seratusan, per seribuan,.. atau dilakukan pembagian biasa.

b.      Jik penyebut tidak dapat di ubah menjadi 10, 100, 1000, … maka pembilang di bagi penyebut dengan cara biasa.

Contoh 8.15

a.      

 

=

 

 

b.       dicari sebagai berikut.

    0,

 

               =0,

      

 di cari sebagai berikut ;

   0, 6

 

     

                   

     

c.       Di cari sebagai berikut.

    0,4545

          jika pembagian diteruskan maka akan di peroleh :

        

                        

        

d.       di cari sebagai berikut

     0,777

             

          

          

        

Dari contoh-contoh diatas, contoh b menghasilkan sisa nol sehingga  dan . Proses pembagiannya berakhir maka decimal-desimal 0, dan 0, 6 ditulis mempunyai akhir sehingga di sebut decimal berakhir (terminating decimal).

Contoh c menghasilkan sisa tidak nol sehingga proses pembagian dapat dilakukan terus-menerus, tidak henti tanpa akhir, dan berulang sehingga di peroleh desimal berulang yang tidak berakhir, di sebut decimal berulang (repeating decimal).

Ternyata setiap bilangan rasional pecahan mempunyai bentuk decimal berakhir atau berulang. Jika bilangan rasional pecah dapat mempunyai bentuk decimal berakhir atau decimal berulang maka bagaimana dengan konversinya? Pertanyaan ini mengundang jawaban untuk menunjukan bahwa decimal berakhir dn decimal berulang dapat dinyatakan dengan bentuk perbandingan  , dengan a dan b bilangan-bilangan bulat dan b ≠ 0.

a.       Untuk desimal berakhir, pengubahan menjadi bentuk bilangan rasional dilakukan dengan menggunakan notasi desimal yang diperluas

 

 dan seterusnya

b.      Untuk desimal berulang, pengubahan menjadi bentuk bilangan rasional dilakukan dengan melihat banyaknya angka yang berulang. Jika pecahan decimal n dengan k angka berulang (teratur) maka n dikalikan  sehingga diperoleh n.  .

Kemudian, n  dikurangi n dan persamaan yang diperoleh di selesaikan untuk memperoleh n.

Contoh 8.16

a.       0,34 = ( ) + (3)

           =

         =  

         =

         =

Perhatikan bentuk bilangan rasional yang diperoleh, yaitau mempunyai pembilang  (memuat tiga angka) dan mempunyai penyebut  (bayaknya angka  = 3). Dengan bentuk dan cara yang serupa maka dengan cepat diketahui :

0,                  

                35, 9

0, 357 =

b.     Mengubah n = 0,6666…      menjadi bentuk bilangan rasional (banyaknya 

             10 n = 6,6666…      angka berulang adalah satu sehingga palinggnya

                     adalah 10

                    

                     n =

c.      Mengubah n = 0,7                  menjadi bentuk bilangan rasional

                                         100  n = 7                 ( banyaknya angka berulang adalah

                                                 n = 0,…                 dua sehingga pengalinya adalah 100)           

                                                           99 n = 7

                                                                n =

d.      Mengubah n =        7,6…            menjadi bentuk bilangan rasional

         1000 n = 76…            (banyaknya angka berulang adalah

                  n =        7,6…            sehingga pengalinya adalah 1000).          

                                                     999 n = 7617

                                                            n =